[푸리에 변환 이해하기 - 4] frequency spectrum (주파수 스펙트럼)

자 이제  frequency spectrum를 이해하기 위해서는 당연히 전 포스트에서의 오일러 공식을 알고 있어야합니다.

이전글(오일러 공식) -> https://hagisilecoding.tistory.com/89 

 

sinusoid 

 x(t) = Acos(ωt + Φ) 

위 식을 이제 어떻게? 바로 오일러 공식으로 표현을 해보겠습니다. 

 

Z = e^{j(ωt + Φ)}

Z^* = e^{-j(ωt + Φ)}

코사인만 구하기 위해서는 (Z+Z^*)/2를 해주면 됩니다.

 

일단 X(w) 라는 것은 w에 대한 식을 가르키는 것입니다.

 

X(w)는 w에 대한 complex amplitude

X(-w)는 -w에 대한 complex amplitude 입니다.

 

그래서 우리는 sinusoid를 두 개의 complex exponentials로 나타낼 수 있고 이것을 w축을 이용해서 나타내주는 것이 바로 frquency spectrum 이라고 합니다.

 

하나의 Acos(7t + 0.1) 을 두개의 complex exponentials로 나타내보자.

여기서 특징을 하나 알 수 있는데 w와 -w에 대한 complex amplitude의 관계는 크기는 같고 위상만 반대인 것을 알 수 있다. 이 특징을 conjugate symmetry 라 부른다.

 

기억해야 할 것!

거의 대부분의 natural signal은 sinusoid 들의 합으로 나타낼 수 있다. 

이 말은 즉, 거의 대부분의 natural signal은 2개의 complex exponential 들의 합으로 나타 낼 수 있다.

 

이것을 이해했다면 analysis 와 synthesis도 이해하기 쉽다.

 

어떤 신호가 있을 때 이 신호는 이제 코사인의 합(sinusoid의 합)으로 나타낼 수 있다.

이것을 분석하면 이제 우리는 frequency spectrum을 알 수 있다. 

 

여기서 위에서는 f에 대한 complex amplitude를 구해주었다.

맨 처음 포스트에 보면 w = 2πf 라는 것을 알 수 있는데 잘 모르겠다면 푸리에 변환 이해하기 첫 번째 포스트로 가면 나와있다.

 

 

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