[푸리에 변환 이해하기 - 3] Euler's Identity (오일러 공식)

오일러 공식은 세상에서 가장 아름다운 공식이라고 불리는 공식입니다.

이것에 대한 수학적 증명은 유튜브에서 검색하여서 동영상으로 보는 것이 더욱 이해하기 쉽습니다.

 

여기서는 오일러 공식이 어떤 의미를 가지는지에 대해서 또 푸리에 변환을 이해하기 위해서 필요한 지식을 포스트 할 것입니다.

 

오일러 공식

e^jθ = cos(θ) + jsin(θ) -> 이것은 꼭 익숙해 지도록 해야합니다.

 

위 그림을 보면 θ가 의미하는 것은 각도이고 크기는 1로 고정이 되어있습니다. 

 

앞 포스트에서 이해했듯

Real part(실수부) = (Z+Z*)/2

Imaginary part(허수부) = (Z-Z*)/2

이기 때문에

 

Z = e^jθ -> (e^jθ + e^-jθ)/2 = cos(θ)  (실수부)

Z = e^jθ -> (e^jθ - e^-jθ)/2j = sin(θ)  (허수부)

 

이렇게 해서 우리는 코사인에 대한 식과 사인의 식을 e로 표현이 가능하게 됩니다.

 

크기가 1이 아니라 r로 바꾸어 주면

 re^jθ = rcos(θ) + jrsin(θ) 이렇게 됩니다.

그래서 알아야할 것은 r부분은 크기를 뜻하고 e부분은 위상을 뜻한다!

 

r1 = r1e^jθ₁

r2 = r2e^jθ₂

r3 = r1r2e^{j(θ₁+θ₂)} 이런식으로 됩니다.

 

즉, 두 개의 complex exponentials의 곱은 두 개의 크기를 곱한 크기를 가지고 각도는 두 개의 각을 더한 각도를 가진 것으로 표현이 됩니다.

 

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